Определение величины реакций в шарнирных опорах балки. Примеры решения задач по статике. Подставляем значения полученных реакций

Задание

Задана горизонтальная двух опорная балка. Балка нагружена активными силами: сосредоточенной F , распределенной силой интенсивностью q и парой сил с моментом М (табл.2.1 и рис 2.6).

Цель работы – построить расчётную схему балки, составить уравнения равновесия балки, определить реакции ее опор и выявить наиболее нагруженную опору.

Теоретическое обоснование

Во многих машинах и сооружениях встречаются конструктивные элементы, предназначенные преимущественно для восприятия нагрузок, направленных перпендикулярно их оси. Расчетные схемы таких элементов (валы, части металлоконструкции и др.) могут быть представлены балкой. Балки имеют опорные устройства для передачи усилий и сопряжения с другими элементами.

Основными типами опор балок являются шарнирно – подвижная, шарнирно – неподвижная опоры и жесткая заделка.

Шарнирно – подвижная опора (рис.2.1,а) допускает поворот балки вокруг оси шарнира и линейное перемещение на незначительное расстояние параллельно опорной плоскости. Точкой приложения опорной реакции является центр шарнира. Направление реакции R – перпендикуляр к опорной поверхности.

Шарнирно – неподвижная опора (рис.2.1,6) допускает только поворот балки вокруг оси шарнира. Точкой приложения являются также центр шарнира. Направления реакции здесь неизвестно, оно зависит от нагрузки, приложенной к балке. Поэтому для такой опоры определяются две неизвестные – взаимно перпендикулярные составляющие R x и R y опорной реакции.

Жесткая заделка (защемление) (рис.2.1,в) не допускает ни линейных перемещений, ни поворота. Неизвестными в данном случае являются не только величина, но и её точка приложения. Таким образом, для определения опорной реакции необходимо найти три неизвестные: составляющие R x и R y по осям координат и реактивный момент MR относительно центра тяжести опорного сечения балки.

А б в

Рис.2.1

Равновесие балки под действием любой системы заданных сил, расположенных в одной плоскости, может быть обеспечено одной жёсткой заделкой или двумя опорами – подвижной и неподвижной. Балки называются соответственно консольными (рис.2.2,а) или двух опорными (рис.2.2,б)

Рис.2.2

На балку действуют заданные силы и пары сил. Силы по способу приложения делятся на распределенные и сосредоточенные. Распределенные нагрузки задаются интенсивно q, Н/м и длиной 1, м. равномерно распределенные нагрузки условно изображаются в виде прямоугольника, в котором параллельные стрелки указывают, в какую сторону действует нагрузка (рис.2.3). В задачах статики равномерно – распределенную нагрузку можно заменять равнодействующей сосредоточенной силой Q, численно равной произведению q * 1, приложенной посредине длины и направленной в сторону действия q.

Рис.2.3 Рис. 2.4

Сосредоточенные нагрузки приложены на сравнительно небольшой длине, поэтому считается, что они приложены в точке. Если сосредоточенная сила приложена под углом к балке, то для определения реакции опор удобно разложить её на две составляющие – F x = Fcos α и F y =F sin α (рис.2.4).

Реакции опор балки определяются из условий равновесия плоской системы произвольно расположенных сил. Для плоской системы можно составить три независимых условия равновесия:

∑F ix = 0; ∑F iy = 0; ∑M io = 0 или

∑М ia = 0; ∑M iB = 0; ∑M iC = 0 или } (2.1)

∑M iA = 0; ∑M iB = 0; ∑F ix = 0.

Где О, А,В, С – центры моментов.

Рационально выбрать такие уравнения равновесия, в каждое из которых входила бы по одной неизвестной реакции.

Порядок выполнения работы

1. В соответствии с заданием изобразить балку и действующие заданные силы.

Выбрать расположение координатных осей: совместить ось х с балкой, а ось у направить перпендикулярно оси х.

1. Произвести необходимые преобразования: силу, наклоненную к оси балки под углом а, заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную нагрузку – её равнодействующей.

2. Освободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль осей координат.

3. Составить уравнения равновесия балки, чтобы решением каждого из трёх уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.

4. Проверить правильность определения реакций опор по уравнению, которое не было использовано для решения задач.

5. Сделать вывод о наиболее нагруженной опоре.

6. Ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1.Сколько независимых уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?

2.Какие составляющие реакции опор балок возникают в шарнирно – подвижной, шарнирно – неподвижной опорах и жёсткой заделке?

3.Какую точку целесообразно выбрать в качестве центра момента при определении реакций опор?

4.Какая система является статически неопределимой?

Пример выполнения

1.Задание:

q = 5 H/м, F = 25 H, M = 2 H*м, α = 60°

2.Преобразование заданных сил:

F x = F cos α = 25cos 60° = 12.500H, F y = F sinα = 25 sin60° = 21.625H

Q = q*1 = 5*6 =30 H.

Рис.2.5

3.Составим расчётную схему (рис.2.5)

4.Уравнения равновесия и определение реакций опор:

а) ∑M ia = 0; -Q *3 – F y * 7.5+ R B * 8.5 – M = 0;

б) ∑M iB =0: - R Ay *8.5 + Q *5.5 + F y *1 – M = 0:

в) ∑F ix =0: R Ax + F x =0: R Ax = - F x = - 12.500H.

5.Проверка:

∑F iy = 0; R Ay = Q – F y + R B = 0; 21.724 – 30 – 21.651 + 29.927 = 0; 0 = 0

Наиболее нагруженной является опора В – R B =29.927 Н. Нагрузка на опору А – R A =

Литература:

Таблица 2.1

№ варианта	№ схемы на рис. 2.6	q , Н/м	F, Н	М, Н м	, град











		4,5
		2,5

		4,5
		3,5

		6,5
		1,5






		0,5

Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки и мостовые фермы.

В технике обычно встречаются три типа опорных закреплений (кроме рассмотренных в § 2):

1. Подвижная шарнирная опора (рис. 28, опора А). Реакция такой опоры направлена по нормали к поверхности на которую опираются катки подвижной опоры.

2. Неподвижная шарнирная опора (рис. 28, опора В). Реакция
такой опоры проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в плоскости чертежа. При решении задач будем реакцию
изображать ее составляющими
и
по направлениям координатных осей. Модуль
определим по формуле
.

3. Жесткая заделка (рис. 29, а). Рассматривая заделанный конец балки и стену как одно целое, жесткую заделку изображают так, как показано на рис. 29, б. В этом случае на балку в ее поперечном сечении действует со стороны заделанного конца система распределенных сил (реакций). Считая эти силы приведенными к центру А сечения, можно их заменить одной силой
и парой с неизвестным моментомm A (рис. 29, а). Силу
можно изобразить ее составляющими
,
(рис. 29, б).

Таким образом, для нахождения реакции жесткой заделки надо определить три неизвестные величины X A , Y A , m A .

Рис. 28 Рис. 29

Отметим также, что в инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль поверхности по тому или иному закону. Рассмотрим некоторые примеры распределенных сил.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры (Н/м).

а) Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой (рис. 30, а). Для такой системы интенсивность q имеет постоянное значение. При расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей . По модулю

Q = a q . (33)

Приложена сила Q в середине отрезка АВ.

б) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. 30, б). Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения q m . Модуль равнодействующей в этом случае определяется по формуле

Q = 0,5a q m . (34)

Приложена сила на расстоянииа /3 от стороны ВС треугольника АВС.

Задача 3. Определить реакции неподвижной шарнирной опоры А и подвижной опоры В балки (рис. 31), на которую действуют активные силы: одна известная сосредоточенная сила F = 5 кН, приложенная в точке С под углом 60 0 , и одна пара сил с моментом m = 8 кНм.

, пару сил с моментомm и реакции связей
,
,
(реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими). В результате имеем произвольную плоскую систему сил. 3) Проведем координатные оси x, y и составляем условия равновесия (28). Для вычисления момента силы , иногда, удобно разложить ее на составляющие и , модули которых равняются F 1 = F cos60 0 = 2,5 кН, F 2 = F cos30 0 = 4,33 кН. Тогда получим:

, ,

Решая эту систему уравнений, найдем:

X A = F 1 = 2,5 кН, Y B = (m + F 2 ∙5)/3 = 9,88 кН, Y A = F 2 – Y B = – 5,55 кН.

Знак минус реакции Y A показывает, что эта реакция направлена вертикально вниз.

Для проверки составим уравнение моментов относительно нового центра, например, относительно точки В:

5,55∙3 – 8 – 4,33∙2 = – 0,01 ≈ 0.

Задача 4. Определить реакции заделки консольной балки (рис. 32), на которую действуют активные силы: сосредоточенная сила F = 6 кН, приложенная в точке С под углом 45 0 , равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м и пара сил с моментом m = 3 кНм.

Решение. 1) Выбираем объект исследования, т.е. рассматриваем равновесие балки АВС. 2) Изобразим внешние силы, действующие на балку: силу , равномерно распределенную нагрузку интенсивностьюq, пару сил с моментом m и реакции заделки, т.е. три неизвестные величины X A , Y A , m A (реакцию жесткой заделки изображаем двумя ее составляющими X A , Y A , а пару – неизвестным моментом m A , как на рис. 29). Силу разложим на две составляющие и , модули которых равняются F 1 = F 2 = F cos45 0 = 4,24 кН, а распределенную нагрузку интенсивностью q заменим сосредоточенной силой с модулем равным

Q = 3∙q = 6 кН.

Сила приложена в середине отрезка АВ. В результате имеем произвольную плоскую систему сил. 3) Проведем координатные оси x, y и составляем уравнения равновесия (2):

, ,

Решая эти уравнения, найдем:

X A = F 1 = 4,24 кН, Y A = Q – F 2 = 1,76 кН, m A = Q∙1,5 + m – F 2 ∙5 = – 9,2 кНм.

Для проверки составим уравнение моментов относительно точки С:

, – 9,2 + 21 – 3 – 8,8 = 0.

Задача 5. Определить реакции опор А, В, С и усилие в промежуточном шарнире D составной конструкции (рис. 33), на которую действуют активные силы: сосредоточенная сила F = 4 кН, приложенная в точке Е под углом 45 0 , равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м и пара сил с моментом m = 10 кНм.

Решение. Один из способов решения задач об определении реакции опор составной конструкции состоит в том, что конструкцию расчленяют на отдельные тела и составляют условия равновесия каждого из тел в отдельности. Воспользуемся этим способом и разобьем конструкцию на две части: левую AD и правую DC. В результате приходим к задаче о равновесии двух тел. Силовые схемы задачи показаны на рис. 7,8. Для упрощения вычислений разложим силу на составляющие и , модули которых равны F 1 = F 2 = F cos45 0 = 2,83 кН, а распределенную нагрузку интенсивностью q заменим сосредоточенной силой с модулем равнымQ = 10 кН. Сила приложена в середине отрезкаBD.

Рис. 34 Рис. 35

Анализ приведенных силовых схем показывает, что они включают шесть неизвестных величин: X A , Y A , Y B , X D , Y D , Y C .

Так как на рис. 34,35 имеются плоские системы уравновешенных сил, то для них можно записать условия равновесия (28) в виде шести линейных алгебраических уравнений:

Левая часть Правая часть

,
,

Поскольку составленная система шести уравнений зависит от шести неизвестных X A , Y A , Y B , X D , Y D , Y C , то она является замкнутой.

Решая систему, найдем:

X A = – 2,83 кН, Y A = – 0,93 кН, Y B = 11,76 кН, Y C = 2 кН, X D = 0, Y D = 2 кН.

Для проверки составим уравнение моментов относительно точки D:

2,83∙7 – (– 0,93)∙15 – 11,76∙5 + 10∙2,5 – 10 + 2∙5 = – 0,04 ≈ 0.

На опорах балок возникают реакции, с определения которых следует начинать решения всех задач по расчету изгиба.

Реакции опор определяются из уравнений равновесия (статики), которые можно представить в двух различных вариантах:

1) в виде суммы проекций всех сил на оси х и у , а также суммы моментов сил (включая реакции) относительно любой точки по оси балки:

2) в виде суммы всех сил на одну из координатных осей х или у и двух сумм моментов сил (включая реакции) относительно двух точек, лежащих на оси балки:

Выбор того или оного варианта составления уравнений равновесия, а также выбор точек по направлению координатных осей, используемых при составлении этих уравнений, производится в каждом конкретном случае с таким расчетом, чтобы по возможности не производить совместное решение уравнений. Для проверки правильности определения опорных реакций полученные их величины рекомендуется подставлять в какое-либо уравнение равновесия, не использованное ранее.

При определении реакций их направления можно выбирать произвольно. Если же реакции в расчете оказались отрицательными, то это означает, что их направление выбрано неправильно. В этом случае на расчетной схеме первоначальное направление реакций перечеркивают и указывают их обратное направление. В последующих расчетах величины реакций считаются положительными.

Однако можно заранее предугадать правильное направление реакций на основании мысленно представленной упругой линии балки после ее нагружения внешними усилиями (рис 8.5): при «отрыве» балки от опоры (опора А ) реакция R А имеет направление к опоре; при «вдавливании» балки в опору (опора В ) реакция R В имеет направление от опоры.

Рисунок 8.5 – К определению направлению реакций

Рассмотрим типичные случаи определения реакций для простейших видов нагрузок.

Если на балку действует интенсивностью q , как показано на рис.8.6, то при определении опорных реакций нагрузка заменяется ее равнодействующей Р , равной произведению интенсивности нагрузки q на длину участка ее действия l

Примером сплошной равномерно распределенной нагрузки может служить собственный вес балки или часто расположенные нагрузки на участке ее длины.

Рисунок 8.6 – Случай равномерно распределенной нагрузки на балку

Точка приложения сплошной равномерно распределенной нагрузки q лежит посредине того участка, на который она действует; при треугольном законе действия распределенной нагрузки равнодействующая прикладывается по ее центру тяжести.

Размерность интенсивности нагрузки q выражается обычно в кН/м или кН/см.

Рассмотрим последовательность определения опорных реакций для случая нагрузки балки, показанной на рис.8.7:

1. На расчетной схеме балки показывается принятое направление реакций R А и R В , возникающих на опорах. Поскольку внешняя нагрузка действует в вертикальной плоскости перпендикулярно оси балки, то горизонтальная реакция на шарнирно-неподвижной опоре А отсутствует.

2. Поскольку в данном случае неизвестных реакций две (R А и R В ), то в качестве равновесия для определения реакций принимается два уравнения

При составлении этих условий равновесия следует принять правило знаков для моментов сил, включая реакции. Обычно принимается такое привило для внешних (активных) знаков: если моменты от сил направлены по часовой стрелке, то они считаются положительными.

Тогда первое условие равновесия (8.4) приводит к уравнению относительно неизвестной реакции R В (см. рис.8.6)

Реакция получалась положительной, следовательно ее направление принято правильным.

Аналогично используем второе условие равновесия (8.4), приводящее к уравнению относительно второй реакции R А :

Снова реакция оказалась положительной, следовательно ее первоначально направление на расчетной схеме выбрано правильно.

3. Правильность определения величин реакций проверяем из использования еще одного, ранее не использованного, условия равновесия

При этом проекции сил, совпадающих с направлением оси у , считаются положительными, а направленных в обратную сторону – отрицательными.

Тогда на основании использования условия (8.5) имеем:

Полученное тождество (0=0) свидетельствует о правильности определения величин реакций в расчете изгиба балки.

Рассмотрим другой типичный случай нагрузки в виде внецентренно расположенной сосредоточенной силы Р по длине балки l (рис.8.7).

Рисунок 8.7 – Случай нагрузки балки сосредоточенной силой

1. Покажем на расчетной схеме реакции R А и R В . Они направлены, как было указано выше, навстречу нагрузке.

2. Реакции определим из условий равновесия:

Реакции получились положительными, следовательно, их первоначальное направление на расчетной схеме выбрано верно.

Заметим заодно, что реакция на опоре В оказалась больше, чем реакция на опоре А : R В ˃R А . Это следует из того, что сила Р находится ближе к опоре В , а значит и нагружает ее больше.

3. Проверка:

Полученное тождество свидетельствует о правильности определения реакции.

Рассмотрим еще один случай нагрузки балки в пролете внешним сосредоточенным моментом (рис. 8.8), что имеет место в практических расчетах изгиба.

𝔐

Рисунок 8.8 – Случай нагружения балки сосредоточенным моментом

1. Покажем на расчетной схеме предполагаемое направление реакций (вначале мы не знаем, правильно ли приняты такие направления).

2. Реакции определяем из уравнений равновесия:

Реакция получилась положительной, следовательно, ее первоначальное положение выбрано верно.

Реакция оказалась отрицательной, а это означает, что ее направление выбрано неправильно. Поэтому на расчетной схеме зачеркиваем первоначально (ошибочно) принятое направление R А и показываем обратное (истинное) направление (см.ри.8.8). В дальнейших расчетах считаем реакцию R А с правильным направлением положительной.

3. Проверка:

Использованное уравнение равновесия для балки выполняется, а это означает правильность определения реакций и их направления.

Если балка при поперечном изгибе имеет такие опоры, что общее число реакций, возникающих на опорах, не превышают двух, то реакции всегда могут быть определены из двух уравнений равновесия типа (8.2). Такие балки, реакции которых определяются из этих уравнений статики, называются статически определимыми балками. Эти балки могут быть таких простейших видов (рис. 8.9):

Рисунок 8.9 – Статически определимые балки

1) балка с одним жестко защемленным и другим свободным концом, иначе консоль (рис.8.9, а ); 2) шарнирно-опертые балки (рис.8.9, б и 8.9, в ).

Балки, у которых общее число реакций опор больше числа уравнений равновесия, называются статически неопределимыми (расчет их изгиба будет рассмотрен в п. 8.10). Для таких балок реакции опор определяются из совместного решения уравнений статики и условий совместимости деформаций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ БАЛКИ

Последовательность решения задачи

1. Балку освободить от связей (связи) и их (его) действие заменить силами реакций.

2. Выбрать координатные оси.

3. Составить и решить уравнения равновесия.

Реакции опор можно определить, исходя из трех форм уравнений равновесия:

а)

å F i х = 0;

å F i у = 0 ;

å М А = 0;

б)

å F i х = 0;

å М А = 0;

å М В = 0;

в)

å М А = 0;

å М В = 0;

å М С = 0.

4. Проверить правильность решения задачи. Проверку необходимо производить по тому уравнению равновесия, которое не было использовано при решении данной задачи (задача решена правильно лишь в том случае, если после постановки значений активных и реактивных сил в уравнение равновесия выполняется условие равновесия).

5. Сделать анализ решенной задачи (если при решении задачи реакции опор или реактивный момент получается отрицательным, то их действительное направление противоположно принятому).

Пример 1. Определить реакции опор балки, если известно

F = 2 0 кН, М =10 кН  м, q = 1 кН /м (рис. 1).

Рис. 1 - Схема задачи

Решение:

Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.

3 . α

F х = F  с os 30  = 20  0,866 = 17, 32 кН

F у = F  с os 60  = 20  0,5 = 10 кН ,

Q = q  CD = 1  2 = 2 кН ,

Равнодействующая Q приложена в середине участка CD , в точке К (рис. 2).

Рис. 2 - Схема преобразования заданных активных сил

4.Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями, направленными вдоль выбранных осей координат (рис 3).

Рис. 3 - Схема реакций балки

å М А = 0; F у  АВ + M + Q  AK - R Dy  AD = 0 (1)

å М D = 0; R Ay  AD - F у  В D + M - Q  KD = 0 (2)

å F i х = 0; R A х - F х = 0 (3)

6. Определяем реакции опор балок R Ay , R Dy и R A х решая уравнения.

Из уравнения (1) получаем

R Dy = F у  АВ + M + Q  AK / AD = 10  1 + 10 + 2  3 / 4 = 6,5 кН

Из уравнения (2) получаем

R Ay  = F у  В D - M + Q  KD / AD =10  3 - 10 + 2 / 4 = 5,5 кН

Из уравнения (3) получаем

R A х = F х = F  с os 30  = 20  0,866 = 17, 32 кН

7 . П

å F i y = 0; R Ay - F у - Q + R Dy = 5,5 - 10 - 2 + 6,5 = 0

Условие равновесия å F i y = 0 выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

Пример 2. Определить реакции заделки, если известно

F = 2 0 кН, М =10 кН  м, q = 1 кН /м (рис. 4 ).

Рис. 4 - Схема задачи

Решение:

2. Выбираем расположение координатных осей, совместив ось Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.

3 . Производим необходимые преобразования заданных активных сил: силу, накопленную к оси балки под углом α , заменяем двумя взаимно перпендикулярными составляющими

F х = F  с os 30  = 20  0,866 = 17, 32 кН

F у = F  с os 60  = 20  0,5 = 10 кН ,

а равномерно распределенную нагрузку - её равнодействующей

Q = q  CD = 1  2 = 2 кН ,

Равнодействующая Q приложена в середине участка CD , в точке К (рис. 5).

Рис. 5 - Схема преобразования заданных активных сил

4.Освобождаем балку от заделки, заменив её опорными реакциями, направленными вдоль выбранных осей координат и реактивным моментом (моментом заделки, М 3 )(рис 6).

Рис. 6 - Схема реакций балки

5.Составляем уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор и определяем неизвестные реакции опор.

å М А = 0; M 3 + F у  АВ + M + Q  AK = 0 (1)

å М В = 0; M 3 + R Ay  A В + M + Q  В K = 0 (2)

å F i х = 0; R A х - F х = 0 (3)

6. Определяем реакции опор балки R A х , R Ay и момента заделки М 3 решая уравнения.

Из уравнения (1) получаем

M 3 = - F у  АВ - M - Q  AK = - 10  1 - 10 - 2  3 = - 26 кН  м

Из уравнения (2) получаем

R Ay  = - Q  В K - M - M 3 / A В = - 2  2 - 10 -(-26) / 1 = 12 кН

Из уравнения (3) получаем

R A х = F х = F  с os 30  = 20  0,866 = 17, 32 кН